Bonjour,
Suite à vos discussions sur les alignements ou la perpendicularité des axes entre des toponymes (et quelques travaux en cours...), je me suis amusé à coder un petit programme qui permet d'analyser la géométrie entre des points repérés en coordonnées terrestres (longitude, latitude, altitude). Je suis ouvert sur la question car pourquoi pas, mais je voulais commencer par analyser l'aléatoire. C'est à dire, que se passe-t-il si on prend des points au hasard non ordonnés par l'homme ?
Voici quelques exemples obtenus par tirages pseudo-aléatoires (méthode par une série sur ordinateur) de 20, 30 ... 200 points répartis sur un territoire de 2° x 2° à la surface de la Terre et une altitude de 0 m, soit environ 222 km de largeur et hauteur. Par exemple, pour 200 points en triplet (3), il y a 7.880.400 arrangements à examiner et 1.313.400 combinaisons. Pour mémoire n=200 k=3 : A(n,k)=n!/(n-k)! et C(n,k)=A(n,k)/k!
Mon code recherche toutes les combinaisons des triplets qui sont des triangles rectangles avec une précision de 0.02° pour le sommet carré, ou des alignements avec un sommet proche de 180° (à 0.02°). 0.02° = 1.2' soit environ la résolution de l’œil humain. Il s'agit d'une condition déjà assez stricte, mais on peut la discuter. Evidemment, plus on paramètre une grande valeur et plus on va trouver des triplets qui respectent cette condition, plus on trouvera des triangles rectangles ou des alignements...
Ces planches sont à analyser en zoom 1:1 sur un affichage FullHD 1920x1080. J'ai divisé par deux les dimensions pour le forum mais il vaut mieux télécharger les liens pour un affichage optimal plein écran. Les alignements et les triangles rectangles sont affichés avec des traits faiblement lumineux pour ne pas surcharger les graphiques.
Sur la droite du graphique :
• en blanc : les points d'intérêt ;
• en rouge : les triangles pythagoriciens trouvés dans ce nuage de points avec une précision de 0.02° ;
• en bleu : les triangles plats. Pour considérer que les 3 points sont alignés, l'un des sommets du triangle formés doit être compris entre 179.98° < 180.02° (attention en trigonométrie sphérique la somme des angles des sommets d'un triangle peuvent être > à 180°) ;
Sur la gauche du graphique :
• sur le bas : un histogramme de la valeur des angles des sommets des triangles formés par la combinaison de tous les points en triplet. La forme générale de l’histogramme est toujours la même avec des points aléatoires. Il y a beaucoup plus d’angles au sommet de valeur 0° que de valeur 180° (normal puisque pour 1 sommet à 180° il y en a 2 à 0° dans le cas d’un triangle plat), et toujours un certain nombre non négligeable de sommets rectangles. Ceux qui nous intéressent dans ce fil sont particulièrement à 90° ;
• sur le haut : un histogramme des rapports des longueurs (petit côté / grand côté) (pas l'hypoténuse) des triangles pythagoriciens trouvés dans le nuage de points. La valeur du rapport est exprimée dans son millième. Les rapports p/G très utilisés ressortiront sur ce graphique ;
Au regard des résultats obtenus, il est assez facile de trouver des triangles rectangles et des alignements dans un nuage de points pseudo-aléatoire.
La courbe des histogrammes va traduire l'utilisation particulière d'une forme de triangle. On peut aussi rechercher des tas d'autres choses dans les nuages de points... comme des unités de mesure, des formes particulières... On peut appliquer ce code à des plans... Bref je vais continuer.
Voici quelques exemples de tirages (ATTENTION : ils ne représentent pas une statistique pour une nombre de points) :
Avec 20 points: pas d'alignement, 1 triangle rectangle :
http://goo.gl/fzjIFSAvec 30 points: 1 alignement, 1 triangle rectangle :
http://goo.gl/kk7ynnAvec 50 points: 4 alignements, 5 triangles rectangles :
http://goo.gl/bLftPSAvec 100 points: 27 alignements, 95 triangles rectangles :
http://goo.gl/s2OKMaAvec 200 points, 165 alignements, 709 triangles rectangles :
http://goo.gl/R3dkBF